I dette indlæg vil det handle om – som overskriften antyder, Euklid og omskrevne og indskrevne cirkler i en trekant og firkant.
Euklid var en græsk matematiker, som anses for at være geometriens stamfader. Han har lavet nogle vigtige regler, som definerer selve geometrien. Bl.a. disse fem postulater:
Euklids fem postulater:
- postulat
- For hvert par distinkte punkter P og Q findes der eksakt én linje, som går gennem både P og Q.
- postulat
- For hvert linjestykke AB og hvert linjestykke CD findes der et entydigt bestemt punkt E, således at B ligger mellem A og E, og linjestykket CD er kongruent med BE.
- postulat
- For hvert par distinkte punkter O og A findes der en cirkel med O som centrum og OA som radius.
- postulat
- Alle rette vinkler er kongruente.
- postulat
- Hvis et linjestykke skærer to rette linjer, så de danner to indre vinkler på hver side, som tilsammen er mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer, hvis de forlænges uendeligt, mødes på den side, hvor de to vinkler er mindre end to rette vinkler.
-
- 5. postulat (i John Playfairs version)
- For hver linje l og hvert punkt P, som ikke ligger på l, eksisterer der eksakt én linje m gennem P, således at m og l er parallelle.
Det næste emne er indskrevne og omskrevne cirkler. Enhver trekant har en omskreven og en indskreven cirkel. Men ikke alle firkanter har. Vi starter med trekanten.
For at finde en trekants indskrevne cirkel, skal man halvere alle vinklerne og tegne vinkelhalveringslinjen. (Se tidligere indlæg, hvis du er i tvivl om, hvordan man tegner en vinkelhalveringslinje) Når, du tegner en vinkelhalveringslinje, halvere den også pladsen mellem vinkelbenene (Der må altså være lige langt ud til hvert vinkelben) Så når du har tegnet alle tre vinkelhalveringslinjer, finder du det punkt, som er centrum for den indskrevne cirkel i trekanten. Derefter sætter du “passernålen” fast i punkter og “blystykket” sætter du på en af trekantens sider. Når du er færdig vil du se den indskrevne cirkel i trekanten. Dette gælder for alle trekanter.
Den omskrevne cirkel finder du ved at tegne alle trekantens medianer (Se tidligere indlæg, hvis du er i tvivl om medianer) Det punkt de skærer i er centrum for den omskrevne cirkel. Sæt “passernålen” fast på punktet og “blystykket” på et af trekantens hjørner. Derefter har du tegnet en omskreven cirkel. Dette gælder også for alle trekanter.
Med firkanter er det lidt anderledes.
Ikke alle firkanter kan indskrives i en cirkel. Det kræver, at vinkelsummen for hvert af de to par af overfor hinanden (modsat) liggende vinkler er 180º . Hvis det er tilfældet, er det så tilstrækkeligt at finde den omskrevne cirkel for en trekant dannet af tre af firkantens fire hjørner.
Her ses et billede af en trekant og dens omskrevne – og indskrevne cirkel
Das Bielether
bielether 